Quote:

---

Oorspronkelijk gepost door: honda_freak
[...]


De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. De stelling dankt zijn naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat al veel langer bekend, net als in Babylonië. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een bewijs daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.

In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.

De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden".
Anders geformuleerd:

a2 + b2 = c2
De stelling van Pythagoras is een van de oudste stellingen uit de oudheid. Volgens de legende was Pythagoras zo in z'n nopjes met zijn ontdekking van de stelling dat hij een offer aan de goden bracht in de vorm van een paar ossen.

Bewijzen

Er bestaan meer dan 200 bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Een van de eenvoudigste bewijzen deelt een vierkant met zijde a+b op twee manieren in. In de linkerfiguur zien we de oppervlakte als twee vierkanten, een met zijde a en een met zijde b, en vier driehoeken met zijden a, b en c. In de rechterfiguur is de oppervlakte verdeeld in een vierkant met zijde c en opnieuw vier driehoeken met zijden a, b en c. Daaruit volgt direct de stelling.

Men kan dit ook algebraïsch uitrekenen. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2.

De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c2 heeft.

Dus

(a+b)2=2ab + c2
Uitwerken van het kwadraat links geeft:

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Dus:

a2 + b2 = c2 Q.E.D.

Pythagorese drietallen
De kleinste gehele waarden die aan de stelling van Pythagoras voldoen zijn 3,4,5 (32 + 42 = 52). Uiteraard voldoet ook elk veelvoud hiervan, zoals 62 + 82 = 102.

Er zijn oneindig veel combinaties van gehele getallen die aan de vergelijking x2+y2=z2 voldoen. (5,12,13) is een andere combinatie. Deze combinaties worden ook wel Pythagorese drietallen genoemd.

---